ठोस तथा खोखले बेलन का जड़त्व आघूर्ण | solid and hollow cylinder in hindi

ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण

द्रव्यमान केन्द्र से जाने वाली रेखा के सापेक्ष

माना कि बेलन का द्रव्यमान M, त्रिज्या R तथा लंबाई L है। इसके द्रव्यमान केंद्र O से जाने वाली तथा उसकी लंबाई MN के लम्बवत् अक्ष RS के सापेक्ष बेलन का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
इस बेलन को बहुत डिस्कों से मिलाकर बना माना जा सकता है। जिनमें से प्रत्येक डिस्क की त्रिज्या बेलन की त्रिज्या के बराबर होगी।
माना एक डिस्क EF, RS से दूरी x पर स्थित है। जिसकी चौड़ाई मोटाई dx है।
बेलन का घनत्व ρ = \frac{m}{πR^2l}

ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण
ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण

अब dx मोटाई की डिस्क का आयतन = πR2dx

अतः डिस्क का द्रव्यमान = πR2dxρ

= πR2dx \frac{M}{πR^2l}

= \frac{M}{l} dx

इस डिस्क को अपने ऊर्ध्वाधर व्यास EF के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण-

= \frac{1}{4} × द्रव्यमान × (त्रिज्या)2

= \frac{1}{4} × \frac{M}{ρ} dX × R2

समान्तर अक्ष की प्रमेय के अनुसार- RS अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण-
= EF के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण + द्रव्यमान ×(RS तथा EF के बीच की दूरी)2

= \frac{1}{4} × \frac{M}{l} dx × R2 + \frac{M}{l} dx x2

अतः सम्पूर्ण बेलन का RS अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण-

I0 = \int^N_M \frac{MR^2}{4l} dx + \int^N_M \frac{M}{l} x2 dx

स्पष्ट है कि M के लिए x = \frac{l}{2} , N के लिए x = – \frac{1}{2}

I0 = \int^{l/2}_{-l/2} \frac{MR^2}{4l} dx + \int^{l/2}_{-l/2} \frac{M}{l} x2 dx

I0 = \frac{MR^2}{4l} [x]l/2-l/2 + \frac{M}{l} ( \frac{l^3}{24} + \frac{l^3}{24} )

I0 = M( \frac{l^2}{12} + \frac{R^2}{4} ) ….(1)

इसे भी पढ़ें… जड़त्व तथा जड़त्व आघूर्ण क्या है

किसी एक फलक के व्यास के परित जड़त्व आघूर्ण

माना कि एक फलक का व्यास PQ है। जो RS के समान्तर है। और जिसके सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है। समान्तर अक्षों की प्रमेय के अनुसार,

PQ के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण = RS के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण × द्रव्यमान × (RS तथा PQ के बीच की दूरी)2

IPQ = IRS + M(MO)2

IPQ = M ( \frac{l^2}{12} + \frac{R^2}{4} ) + M ( \frac{l}{2} )2

IPQ = M ( \frac{l^2}{3} + \frac{R^2}{4} )
IPQ = M ( \frac{l^2}{3} + \frac{R^2}{4} ) …..(2)

अपने अक्ष के सापेक्ष

MN बेलन का अक्ष है। जिसके सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है। बेलन बहुत – सी वृत्ताकार डिस्कों का बना मान सकते हैं। जो एक – दूसरे के ऊपर रखी हों। माना प्रत्येक डिस्क का द्रव्यमान m है। ऐसी एक डिस्क का MN के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण-
= \frac{1}{2} × द्रव्यमान × (त्रिज्या)2
= \frac{1}{2} mR2

इसलिए सम्पूर्ण बेलन का MN अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण-

IMN = \frac{1}{2} mR2 + \frac{1}{2} mR2 + …

IMN = Σ \frac{1}{2} mR2

IMN = \frac{1}{2} R2 Σm

(चूंकि Σm = M)

IMN = \frac{1}{2} MR2 ….(3)

इसे भी पढ़ें..जड़त्व आघूर्ण की प्रमेय

Note- खोखले बेलन के लिए जड़त्व आघूर्ण

1.यदि बेलन खोखला है। तो खोखले बेलन का उसके अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण निम्न प्रकार से दिया जा सकता है। यदि बेलन खोखला है। तो खोखले बेलन का उसके अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण निम्न प्रकार से दिया जा सकता है।

I = Σm \frac{R^2_1 + R^2_2}{2}

I = M \frac{R^2_1 + R^2_2}{2}

जिसमें R1 तथा R2 खोखले बेलन की क्रमशः आन्तरिक तथा बाह्य त्रिज्याएं है। Σm = M उसका द्रव्यमान हैं।

2.खोखले बेलन का जड़त्व आघूर्ण उस अक्ष के सापेक्ष जो उसके द्रव्यमान केन्द्र से गुजरता है। और स्वयं उसकी अक्ष के लम्बवत् है। जैसा कि चित्र-2 में दिखाया गया है-

खोखले बेलन का जड़त्व आघूर्ण
खोखले बेलन का जड़त्व आघूर्ण

dI = \frac{M}{l} dx \frac{R^2_1 + R^2_2}{4} + \frac{M}{l} dx x2

I = \frac{M}{l} \int^{l/2}_{-l/2} \frac{R^2_1 + R^2_2}{4} + x2dx

I = \frac{2M}{l} [ \frac{R^2_1 + R^2_2}{4} x + \frac{x^3}{3} ]l/20

I = M ( \frac{R^2_1 + R^2_2}{4} + \frac{l^2}{12} )

Note - संबंधित प्रश्न-
Q.1 एक ठोस बेलन के जड़त्व आघूर्ण का निम्न के सापेक्ष परिकलन करों?
Q.2 जड़त्व आघूर्ण के सापेक्ष द्रव्यमान केंद्र से जाने वाले बेलन की लम्बाई के लम्बवत् अक्षों को सिद्ध कीजिए?
Q 3 एक फलक के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करों?
Q 4 अपने अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण को समझाइए?

और पढ़ें..घूर्णन गति के समीकरण

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