ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए | Moment of Inertia of Solid Sphere in Hindi

ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण

व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण

माना एक गोले का परिच्छेद उसके केन्द्र O में से होता हुआ दिखाया गया है। इस गोले की त्रिज्या R तथा द्रव्यमान M है। XX’ गोले का कोई व्यास है। जिसके सापेक्ष उसका जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है। अर्थात्

ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण
ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण

यदि गोले के पदार्थ का घनत्व ρ है। तो इसका द्रव्यमान
M = \frac{4}{3} πR3ρ

माना कि गोले के केन्द्र O से x दूरी पर dx मोटाई को एक पतली डिस्क मानते हैं। तो

डिस्क की त्रिज्या y = \sqrt{(R^2 - x^2)}
इस डिस्क का आयतन = π (R2 – x2)dx
डिस्क का द्रव्यमान = π (R2 – x2)dx × ρ

XX’ अक्ष के परित डिस्क का जड़त्व आघूर्ण क्या होता है –
dI = \frac{π (R^2 - x^2)dx × ρ ×(R^2 - x^2)}{2}

dI = \frac{1}{2} πρ (R4 + x4 – 2R2x2)

अब XX’ अक्ष के परित पूर्ण गोले का जड़त्व आघूर्ण –
अतः यदि x = R तथा x = – R समाकलन करने पर, अर्थात्

I = \int^{R}_{-R} \frac{1}{2} πρ(R4 + x4 – 2R2x2)dx

I = 2 × \frac{πρ}{2} \int^R_0 (R4 + x4 – 2R2x2)dx

I = πρ [R4x – 2R2 \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} ]R0
I = πρ [R5 - \frac{2R^5}{3} + \frac{R^5}{5} ]

I = πρ ( \frac{8R^5}{15} )
I = \frac{2}{5} × \frac{4}{3} πR2ρ × R2

{चूंकि \frac{4}{3} πR2ρ = M गोले का द्रव्यमान}
इसलिए,

I = \frac{2}{5} MR2

यही ठोस गोले का व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण कहलाता हैं।

इसे भी पढ़ें..जड़त्व आघूर्ण की प्रमेय

स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण -

गोले की सतह के किसी बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा उसके किसी एक व्यास के समान्तर होगी। और इस व्यास से R दूरी पर स्थित होगी। अब समान्तर अक्षों की प्रमेय के नियमनुसार, किसी स्पर्श रेखा के परितः किसी गोले का जड़त्व आघूर्ण -

I = \frac{2}{5} MR2 + MR2

I = \frac{7}{5} MR2

यही स्पर्श रेखा के परितः ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण कहलाता हैं।

संबंधित प्रश्न पूछे जाते हैं-
Q.1 ठोस गोले का व्यास तथा स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए?
Q.2 एक ठोस गोले का व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण सिध्द कीजिए?
Q.3 स्पर्श रेखा की परितः ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण निकालिए ?

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