पतले गोलीय खोल का व्यास के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण | Thin Spherical Shell in hindi

पतले गोलीय खोल का जड़त्व आघूर्ण

व्यास के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण

माना कि RSTU एक पतले गोलीय खोल है। जिसका द्रव्यमान M तथा त्रिज्या R है। इसका जड़त्व आघूर्ण TU के सापेक्ष ज्ञात करना है। प्रत्येक व्यास के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण समान होगा। यदि यह सभी वृत्तीय रिंग RS व्यास के समान्तर होंगे। इनमें से केंद्र O से x दूरी पर स्थित तथा dx चौड़ाई का एक EFGH वृत्तीय रिंग की कल्पना की जो समान्तर ऊर्ध्वाधर तलों EG तथा FH के बीच स्थित है।

पतले गोलीय खोल का जड़त्व आघूर्ण
पतले गोलीय खोल का जड़त्व आघूर्ण

गोलीय खोल की सतह का क्षेत्रफल = 4πR2
एकांक क्षेत्रफल के खोल का द्रव्यमान = \frac{M}{4πR^2}
EFGH रिंग का क्षेत्रफल = 2π × EP × EF

EFGH रिंग का द्रव्यमान = 2π × EP × EF × \frac{M}{4πR^2} , तो

TU के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण⇒dI = द्रव्यमान × (त्रिज्या)2

dI = \frac{M}{2R^2} × EP × EF × (EP)2
dI = \frac{M}{2R^2} × EP3 × EF …(1)
अतः

EFGH रिंग का TU के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण

dI = \frac{M}{2R^2} × EP3 × EF
dI = \frac{M}{2R^2} × EP2 × Rdx

{चूंकि EF = \frac{Rdx}{EP} }

dI = \frac{M}{2P^2} (R2 – x2)dx

{चूंकि EP2 = R2 – x2}

अतः संपूर्ण गोलीय खोल का व्यास TU के परित जड़त्व आघूर्ण-

ITU = \int^U_T \frac{M}{2R} (R2 – x2)dx

स्पष्ट है कि T के लिए x = – R तथा U के लिए x = R

ITU = \int^{R}_{-R} \frac{M}{2R} (R2 – x2)dx

ITU = 2 × \frac{M}{2R} \int^R_0 (R2 – x2)dx

ITU = 2 × \frac{M}{2R} (R2n – \frac{x3}{3} )x0

ITU = \frac{2}{3} MR2

अतः गोलीय खोल का प्रत्येक ब्यास के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण होगा।

IU = \frac{2}{3} MR2

इसे भी पढ़ें..जड़त्व आघूर्ण की प्रमेय

स्पर्श रेखा के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण

माना E’F’ स्पर्श रेखा व्यास RS के समान्तर है। जिसके सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है। समान्तर अक्षों की प्रमेय के अनुसार –
IE’F’ = IRS + M(R2)

IE’F’ = \frac{2}{3} MR2 + MR2

IT = \frac{5}{3} MR2

अतः यही गोलीय खोल का स्पर्श रेखा के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण होगा।

Note – पतले गोलीय खोल का जड़त्व आघूर्ण से संबंधित प्रश्न-
Q 1 पतले गोलीय खोल का जड़त्व आघूर्ण उसके व्यास के परितः ज्ञात कीजिए?
Q.2 किसी स्पर्श रेखा के परितः पतले गोलीय खोल का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए?
Q 3 एक पतले गोलीय कोश का उसका व्यास के परितः तथा स्पर्श रेखा के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण स्थापित कीजिए?

  1. यान्त्रिकी एवं तरंग गति नोट्स (Mechanics and Wave Motion)
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