वर्ग माध्य मूल चाल या वेग क्या है, परिभाषा एवं सूत्र दीजिए | Root Mean Square Speed in Hindi

वर्ग माध्य मूल चाल (या वेग)

माना यदि ” गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, एक गैस के अणु सभी संभव दिशाओं में विभिन्न चालों से सदैव गति की अवस्था में रहते हैं। गैस में सभी अणुओं की चाल समान नहीं होती है।” अर्थात् वितरित चाल का औसत मान गैस के ताप पर निर्भर करता है। यद्यपि गैस के अणु स्वतंत्रता पूर्वक संघट्ट करते रहते हैं। जिससे उनकी चालों में परिवर्तन होता रहता है। परंतु, वैज्ञानिक मैक्सवेल के अनुसार, ” यदि दी गई दूरी के लिए अणुओं की चाल नियत रहती है। यदि गैस के n अणुओं की चाल क्रमशः c1, c2, c3, …., cn हो, तथा गैस के सभी अणुओं की चालों के वर्ग के औसत को ‘वर्ग-माध्य-चाल \overline{v^2} ‘ कहते हैं। अतः

\overline{c^2} = \frac{c^2_1 + c^2_2 + c^2_3 + …. + c^2_n}{n}
या \overline{v^2} = \frac{v^2_1 + v^2_2 + v^2_3 + …. + v^2_n}{n}

तथा वर्ग माध्य चाल के वर्गमूल को ‘वर्ग-माध्य-मूल-चाल (या वेग)’ कहते हैं। ” इसे vrms से व्यक्त करते हैं।

और पढ़ें… गैसों का अणुगति सिद्धांत

गणितीय व्यंजक

गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,
यदि आदर्श गैस के दाब के व्यंजक से,
P = \frac{1}{3} ρ \overline{c^2} ….(1)

{चूंकि ρ गैस का घनत्व है}
अतः \overline{c^2} को अणुओं का “वर्ग-माध्य-वेग (Mean Square velocity)” कहते हैं। \overline{c^2} के वर्गमूल अर्थात् \sqrt{ \overline{c^2}} को “वर्ग-माध्य-मूल-वेग (root mean square velocity in Hindi)” कहते हैं। तथा इसे crms से व्यक्त करते हैं। अर्थात् crms = \sqrt{ \overline{c^2}} । तो समीकरण (1) से,
\overline{c^2} = \frac{3P}{ρ}
अर्थात्

वर्ग-माध्य-मूल-चाल (या वेग) crms = \sqrt{ \overline{c^2}} = \sqrt{ \frac{3P}{ρ}} …..(2)

या वर्ग-माध्य-मूल-चाल \footnotesize \boxed{ c_{rms} = \sqrt{ \frac{3P}{ρ}}}

जहां P गैस का दाब तथा ρ गैस का घनत्व है।
तथा यदि M गैस का अणुभार और V गैस का आयतन है। तब एक मोल गैस का घनत्व,
ρ = \frac{M}{V} ….(3)

अतः आदर्श गैस के समीकरण से,
PV = RT
या P = \frac{RT}{V} ….(4)

अतः समीकरण (4) को (3) से भाग देने पर,
\frac{P}{ρ} = \frac{RT}{M}

अतः समीकरण (1) से P/ρ के मान रखने पर,

\footnotesize \boxed{ c_{rms} = \sqrt{ \frac{3RT}{M}}} …..(5)

अतः crms \sqrt{T}
तथा crms \frac{1}{ \sqrt{M}}

अतः स्पष्ट है कि “एक आदर्श गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल परम ताप के वर्गमूल के समानुपाती तथा गैस के अणुभार के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है।”
माना यदि m गैस के एक अणु का द्रव्यमान तथा N आवोगाद्रो संख्या है।
तब समीकरण (4) से,
crms = \sqrt{ \frac{3RT}{M}}
या crms = \sqrt{ \frac{3kT}{m}} …..(6)

{चूंकि k = \frac{R}{N} वॉल्टमैन नियतांक है}
अतः दिए गए ताप पर,
crms \frac{1}{ \sqrt{M}}

अतः “आदर्श गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल परम ताप के व्युत्क्रमानुपाती होती है।”

Note – गैसों के अणुगति सिद्धांत का उपयोग करके ताप की गतिक अभिधारणा लिखिए ?

ताप की गतिक अभिधारणा –

गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, एक मॉल आदर्श गैस द्वारा आरोपित दाब –
P = \frac{1}{3} . \frac{mN}{V} . \overline{v^2}
या PV = \frac{1}{3} mN \overline{v^2} ….(1)

परन्तु आदर्श गैस के समीकरण से,
PV = RT …(2)

अतः समीकरण (1) व (2) से,
RT = \frac{1}{3} mN \overline{v^2}
या m \overline{v^2} = \frac{3RT}{N}
अतः इसमें दोनों और 1/2 से गुणा करने पर,
\frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2} \frac{R}{N} T

{चूंकि E = \frac{1}{2} m \overline{v^2} गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा है}
अर्थात्

\footnotesize \boxed{ E = \frac{3}{2}kT } …..(3)

{चूंकि k = \frac{R}{N} वॉल्टमैन नियतांक है इसका मान = 1.38 × 10-23 जूल/केल्विन }

\footnotesize \boxed{ E ∝ T }

अर्थात “आदर्श गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा, गैस के परम ताप के अनुक्रमानुपाती होती है। अर्थात् आदर्श गैस अणु की औसत गति ऊर्जा उसके ताप का मापन है।”
अतः स्पष्ट है कि “यह अणुगति सिद्धांत के आधार पर ताप की व्याख्या अर्थात् ताप की गतिक अभिधारणा है।”

सम्बन्धित प्रश्न –
Q. 1 वर्ग माध्य मूल चाल (या वेग) क्या है ? तथा गैसों के अणुगति सिद्धांत के आधार पर दिखाइए की अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल – crms = \sqrt{ \frac{3P}{ρ}} होती हैं ?
Q. 2 गैसों के अणुगति सिद्धांत के आधार पर दिखाइए की अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल-चाल crms = \sqrt{ \frac{3P}{ρ}} जहां P गैस का दाब तथा ρ गैस का घनत्व है ?
Q. 3 गैसों के अणुगति सिद्धांत के आधार पर ताप की व्याख्या कीजिए ?

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