न्यूटन के गति के सामान्य समीकरण क्या हैं, सिद्ध करो? | Newton’s General Equations of Motion in Hindi

न्यूटन के गति के समीकरण क्या हैं

जैसा कि हमनें न्यूटन के नियमों व सीमाओं के बारे में पिछले अध्याय में पढ़ चुके होगें तथा यहां पर हम न्यूटन के गति के सामान्य समीकरणों को समझेंगें।

एक समान क्षेत्र में न्यूटन के गति के समीकरण

यदि कोई वस्तु किसी समान क्षेत्र में प्रवेश करती हैं। तो उस पर एक नियत बल कार्य करता है। तो वस्तु की गति समान त्वरित गति होती हैं।
माना कि m द्रव्यमान के किसी कण पर एक समान क्षेत्र द्वारा आरोपित बल \overrightarrow{F} है। तथा किसी क्षण t पर कण का त्वरण \overrightarrow{a} , वेग \overrightarrow{v} तथा स्थिति सदिश \overrightarrow{r} है, तो न्यूटन के द्वितीय नियम के अनुसार,
\overrightarrow{F} = m \overrightarrow{a}
लेकिन
\overrightarrow{a} = \frac{d \overrightarrow{v}}{dt} = \frac{d}{dt} ( \frac{d \overrightarrow{r}}{dt} ) = \frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2}
अतः
\overrightarrow{F} = m \frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2}
या \frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \overrightarrow{a} …….(1)
अतः
\frac{d \overrightarrow{P_1}}{dt} = – \frac{d \overrightarrow{P_2}}{dt}
तथा “इस समीकरण को न्यूटन के गति का सामान्य समीकरण कहते हैं।”

और पढ़ें…न्यूटन के गति के नियम

तो समीकरण (1) का समाकलन करने पर,
\int \frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} dt = \int \overrightarrow{a} dt
या \int \frac{d \overrightarrow{v}}{dt} dt = \int \overrightarrow{a} dt
या \footnotesize \boxed{ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{u} } …( नियतांक ) ….(2)
\overrightarrow{u} को प्रारंभिक स्थिति t = 0 पर काण का प्रारंभिक वेग कहते हैं। समीकरण (2) का पुनः समाकलन करने पर,

\int \frac{d \overrightarrow{r}}{dt} dt = \int \overrightarrow{u} dt + \int \overrightarrow{a} t dt
या \overrightarrow{r} = \overrightarrow{u} t + \overrightarrow{a} ( \frac{t^2}{2} ) + \overrightarrow{r_0}
अतः
\overrightarrow{r} \overrightarrow{r_0} = \overrightarrow{s} को विस्थापन सदिश कहते हैं, तो
\footnotesize \boxed{ \overrightarrow{s} = \overrightarrow{u} t + \frac{1}{2} \overrightarrow{a} t^2 } …….(3)

उपर्युक्त समीकरण (3) किसी समय t पर कण के विस्थापन को दर्शाता करता है।
चूंकि
त्वरण \overrightarrow{a} = \frac{d \overrightarrow{v}}{dt}
तथा
d \overrightarrow{s} से गुणा व भाग करने पर,
\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{s}}{d\overrightarrow{s}} × \frac{d \overrightarrow{v}}{dt}
\overrightarrow{a} = \frac{d \overrightarrow{s}}{dt} × \frac{d \overrightarrow{v}}{d \overrightarrow{s}}
अतः
\overrightarrow{a} = \overrightarrow{V} \frac{d \overrightarrow{v}}{d\overrightarrow{s}}
{चूंकि \overrightarrow{v} = \frac{d \overrightarrow{s}}{dt} }
अतः
\overrightarrow{v} d \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} d \overrightarrow{s}
दोनों और समाकलन करने पर,
\int^v_u \overrightarrow{v} d \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} \int^s_0 d \overrightarrow{s}
अतः
\frac{v^2}{2}uv = \overrightarrow{a} [ \overrightarrow{s} ]s0
\frac{v^2}{2} - \frac{u^2}{2} = \overrightarrow{a} ( \overrightarrow{s} - 0 )
अतः
v2 - \frac{u^2}{2} = \overrightarrow{a} \overrightarrow{s}
v2 = u2 + 2 \overrightarrow{a} \overrightarrow{s}
परन्तु \overrightarrow{a} तथा \overrightarrow{s} एक ही दिशा में है, तो
\overrightarrow{a} \overrightarrow{s} = as
अतः
\footnotesize \boxed{ v^2 = u^2 + 2as } .....(4)
अतः "समीकरण (2), (3) व (4) एक समान क्षेत्र में या एक समान त्वरण के अंतर्गत न्यूटन के गति के सामान्य समीकरण कहलाते हैं"

Note - न्यूटन के गति के नियम से सम्बन्धित प्रश्न
Q.1 न्यूटन के नियम बताओं। इनकी क्या सीमाएं हैं? एक समान क्षेत्र में किसी कण की गति के सामान्य समीकरणों का निगमित कीजिए ?
Q.2 न्यूटन के गति के सामान्य समीकरणों को प्रदर्शित कीजिए तथा सिद्ध करो?

और पढ़ें.. केप्लर के ग्रहों की गति के नियम

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