तरंग कण के वेग से क्या तात्पर्य है, तरंग गति का समीकरण दीजिए | Particle Velocity in Hindi

तरंग कण का वेग क्या है

माना कि एक प्रगामी तरंग किसी माध्यम में x – अक्ष की धन दिशा में चल रही है। माध्यम के कण तरंग के चलने से एक के बाद एक कंपन अवस्था में आते जाते हैं। कम्पमान कणों का वेग कंपन की भिन्न – भिन्न अवस्थाओं में भिन्न-भिन्न होता है। अतः इस तरंग कण को “तरंग कण का वेग” कहते हैं।
यदि किसी क्षण t पर माध्यम के किसी कण का विस्थापन निम्न होता है तो ;
y = a sin \frac{2π}{λ} (vt – x) ….(1)

अतः कण का वेग \frac{dy}{dt} का होगा।

\frac{dy}{dt} = a cos \frac{2π}{λ} (vt – x)( \frac{2πv}{λ} ) ….(2)

अतः समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

\frac{dy}{dt} = a cos \frac{2π}{λ} (vt – x)(- \frac{2π}{λ} ) ….(3)

समीकरण (2) व (3) से,

कण का वेग = तरंग वेग × विस्थापन वक्र का ढाल

\footnotesize \boxed{ \frac{dy}{dt} = - v \frac{dy}{dx}}

यहां \frac{dy}{dx} विस्थापन वक्र का ढाल है। संख्यात्मक रूप से अतः यही तरंग कण का वेग का समीकरण कहलाता है।

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तरंग गति का अवकल समीकरण ज्ञात करों

समीकरण (2) का पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

\frac{d^2y}{dt^2} = – a[ sin \frac{2π}{λ} (vt – x)]( \frac{2πv}{λ} )2 …(4)

समीकरण (3) का भी पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

\frac{d^2y}{dt^2} = – a[ sin \frac{2π}{λ} (vt – x)](- \frac{2π}{λ} )2 ….(5)

समीकरण (4) व (5) तुलना करने पर,

\footnotesize \boxed{ \frac{d^2y}{dt^2} = v^2 \frac{d^2y}{dx^2}}

अतः यही समीकरण तरंग गति का अवकल समीकरण कहलाता है।

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Note – कण वेग का दाब आधिक्य के बीच संबंध का व्यंजक ज्ञात कीजिए?

कण वेग तथा दाब आधिक्य में संबंध

माना यदि P = – E \frac{dy}{dx} ….(1)

u = – v \frac{dy}{dx}
तथा

\frac{dy}{dx} = – \frac{u}{v} …(2)

अब यदि समीकरण (1) व (2) से,
\frac{P}{E} = \frac{u}{v}
या

P = \frac{Eu}{v}

अतः यही कण वेग तथा दाब आधिक्य के बीच संबंध है।

Note – Important Question –
Q. 1 – किसी कण के वेग तथा तरंग वेग व (y – x) वक्र की प्रवणता के बीच क्या संबंध होता है ?

Ans. – कण का वेग = – तरंग का वेग × (y – x) वक्र की प्रवणता ।

Note – सम्बन्धित प्रश्न –
Q. 1 सिद्ध कीजिए कि किसी बिंदु पर प्रगामी तरंग द्वारा प्रभावित कण का वेग, तरंग वेग × उस बिंदु पर वक्र के ढलान के बराबर होता है। इससे तरंग गति का अवकल समीकरण प्राप्त कीजिए?
Q. 2 तरंग वेग से क्या तात्पर्य है? तथा सिद्ध कीजिए कि तरंग गति का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए?

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