ऊष्मागतिक संबंधों को सिद्ध कीजिए | thermodynamic relationship in Hindi

ऊष्मागतिक संबंध

ऊष्मागतिक संबंधों का प्रयोग करके निम्नलिखित संबंधों को सिद्ध कीजिए –
माना स्थिर दाब तथा स्थिर आयतन पर गैस की विशिष्ट ऊष्माएं क्रमशः निम्न होगी।
CP = ( \frac{∂Q}{∂T} )P = T ( \frac{∂S}{∂T} )P
{चूंकि ∂Q = T.dS } तथा
CV = ( \frac{∂Q}{∂T} )V = T ( \frac{∂S}{∂T} )V
अब यदि एण्ट्रॉपी S को T तथा V फलन माना जाए तथा चूंकि dS एक पूर्ण अवकलन है अतः
dS = ( \frac{∂S}{∂T} )V dT + ( \frac{∂S}{∂V} )T dV
इसलिए
( \frac{∂S}{∂T} )P = ( \frac{∂S}{∂T} )V ( \frac{∂T}{∂V} )P + ( \frac{∂S}{∂V} )T ( \frac{∂V}{∂T} )P
या
T ( \frac{∂S}{∂T} )P = T ( \frac{∂S}{∂T} )V + T ( \frac{∂S}{∂V} )T ( \frac{∂V}{∂T} )P
परन्तु मैक्सवेल के द्वितीय संबंध ( \frac{∂S}{∂V} )T = ( \frac{∂P}{∂T} )V से,
इसलिए,
T ( \frac{∂S}{∂T} )P – T ( \frac{∂S}{∂T} )V = T ( \frac{∂P}{∂T} )V . ( \frac{∂V}{∂T} )P
या \footnotesize \boxed{ C_P - C_V = T ( \frac{∂P}{∂T} )_V . ( \frac{∂V}{∂T} )_P } …(1)
माना दाब P, ताप T व आयतन V का फलन है, तो
P = f(T, V)
चूंकि dP एक पूर्ण अवकलन है, अतः
dP = ( \frac{∂P}{∂T} )V dT + ( \frac{∂P}{∂V} )T dV
यहां परिवर्तन स्थिर दाब पर होता है, तो
dP = 0
अब यदि T के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर, अतः
0 = ( \frac{∂P}{∂T} )V + ( \frac{∂P}{∂V} )T . ( \frac{∂V}{∂T} )P
या
( \frac{∂P}{∂T} )V = – ( \frac{∂P}{∂V} )T ( \frac{∂V}{∂T} )P
यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
CP – CV = – T ( \frac{∂P}{∂V} )T . ( \frac{∂V}{∂T} )2P ….(2)
लेकिन समतापी आयतन का प्रत्यास्थता गुणांक
E = – ( \frac{∂P}{∂V/V} )T = – V ( \frac{∂P}{∂V} )T
तथा आयतन प्रसार गुणांक
α = ( \frac{∂V/V}{∂T} )P = \frac{1}{V} ( \frac{∂V}{∂T} )P
अर्थात् उपर्युक्त मानों को समीकरण (2) में रखने पर,
CP – CV = – TV[ \frac{1}{V} ( \frac{∂V}{∂T} )2P][- V ( \frac{∂P}{∂V} )T] = TVα2E
अर्थात्
\footnotesize \boxed{ C_P - C_V = TEα^2V } …(3)
अतः समीकरण (1) व (3) को ऐसे लिखने पर,
\footnotesize \boxed{C_P - C_V = T ( \frac{∂P}{∂T} )_V ( \frac{∂V}{∂T} )_P = TEα^2V}

इसे भी पढे़…ऊष्मागतिकी फलन क्या है

Note 1 – ऊष्मागतिक संबंधों को सिद्ध करो ?

सिद्ध करो U = F – T(∂F/∂T)V

हैल्महोल्ट्ज फलन की परिभाषा से,
F = U – TS …(1)
दोनों और अवकलन करने पर,
dF = dU – d(TS)
dF = TdS – PdV – TdS – SdT
{चूंकि dU = TdS – PdV}, अतः
dF = – PdV – SdT
इसलिए
( \frac{∂F}{∂T} )V = – S ….(2)
अब समीकरण (1) में S का मान रखने पर,
F = U + T( \frac{∂F}{∂T} )V
या
U = F – T( \frac{∂F}{∂T} )V
यही सिद्ध करना था।

Or पढे़…आदर्श गैस की एण्ट्रॉपी परिवर्तन

Important question – ऊष्मागतिक संबंध \frac{E_S}{E_T} = \frac{C_P}{C_V} को सिद्ध कीजिए ?

ऊष्मागतिक संबंध (E/S)/(E/T) = (C/P)/(C/V)

रुध्दोष्म तथा समतापी प्रत्यास्थताओं की निष्पत्ति –
समतापी तथा रुध्दोष्म परिवर्तनों में क्रमशः ताप तथा एण्ट्रॉपी स्थिर रहती हैं। अतः
समतापी प्रत्यास्थता गुणांक ET = – V( \frac{∂P}{∂V} )T …(1)
तथा रुद्धोष्म प्रत्यास्थता गुणांक ES = – V( \frac{∂P}{∂V} )S …(2)
अब समीकरण (1) व (2) से,
\frac{E_S}{E_T} = \frac{(∂P/∂V)_S}{(∂P/∂V)_T}
या
\frac{E_S}{E_T} = \frac{(∂P/∂T)_S . (∂T/∂V)_S}{(∂P/∂S)_T . (∂S/∂V)_T} …(3)
परन्तु मैक्सवेल संबंधों से,
( \frac{∂T}{∂V} )S = – ( \frac{∂P}{∂S} )V
( \frac{∂S}{∂V} )T = ( \frac{∂P}{∂T} )V
अतः
( \frac{∂T}{∂P} )S = ( \frac{∂V}{∂S} )P
( \frac{∂P}{∂T} )S = ( \frac{∂S}{∂V} )P
तथा
( \frac{∂S}{∂P} )T = – ( \frac{∂V}{∂T} )P
या
( \frac{∂P}{∂S} )T = – ( \frac{∂T}{∂V} )P …(4)
समीकरण (4) से उपर्युक्त मानों को समीकरण (3) में रखने पर,
\frac{E_S}{E_T} = \frac{(∂S/∂V)_P . (- ∂P/∂S)_V}{(- ∂T/∂V)_P . (∂P/∂T)_V}
\frac{E_S}{E_T} = \frac{(∂S/∂T)_P}{(∂S/∂T)_V}
उपर्युक्त समीकरण में अंश व हर में ‘T’ का गुणा करने पर,
\frac{E_S}{E_T} = \frac{T(∂S/∂T)_P}{T(∂S/∂T)_V}
या
\frac{E_S}{E_T} = \frac{(∂Q/∂T)_P}{(∂Q/∂T)_V}
{चूंकि T.∂S = ∂Q}
अर्थात् यदि ( \frac{∂Q}{∂T} )P = CP तथा ( \frac{∂Q}{∂T} )V = CV
अतः
\footnotesize \boxed{ \frac{E_S}{E_T} = \frac{C_P}{C_V}}

Note- ऊष्मागतिकी संबंधों से सम्बन्धित प्रशन परिक्षाओं में पूछें जाते हैं।
Q. 1 सिद्ध कीजिए कि –
CP – CV = T ( \frac{∂P}{∂T} )V . ( \frac{∂V}{∂T} )P = TEα2V
जहां E समतापी आयतन प्रत्यास्थता गुणांक तथा α आयतन प्रसार गुणांक है ?
Q. 2 ऊष्मागतिक संबंधों का प्रयोग करके निम्न संबंधों को सिद्ध कीजिए –
(a). U = F – T( \frac{∂F}{∂T} )V
(b). CP – CV = – T( \frac{∂P}{∂V} )T . ( \frac{∂V}{∂T} )2P जहां प्रतीकों के सामान्य अर्थ है ?
Q. 3 सिद्ध कीजिए –
\frac{E_S}{E_T} = \frac{C_P}{C_V} होता है ?

  1. अणुगति एवं ऊष्मागतिकी नोट्स (Kinetic Theory and Thermodynamics)
  2. यान्त्रिकी एवं तरंग गति नोट्स (Mechanics and Wave Motion)
  3. मौलिक परिपथ एवं आधारभूत इलेक्ट्रॉनिक्स नोट्स (Circuit Fundamental and Basic Electronics)
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